Ta có : \(cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2.cosA.cosB.cosC\)
Đặt cos A = a ; cos B = b ; cos C = c thì : \(a^2+b^2+c^2+2abc=1\)
Dự đoán : a = b = c = 1/2 nên ta đặt
a = \(\sqrt{\dfrac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\) ; \(b=\sqrt{\dfrac{yz}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}};c=\sqrt{\dfrac{xz}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}\) ( x ; y ; z > 0 )
Khi đó : \(\Sigma\sqrt{\dfrac{cosA.cosB}{cosC}}=\Sigma\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}\)
Cần c/m : \(\Sigma\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}>2\) (*)
BĐT quen thuộc ; AD BĐT AM - GM ta được : \(\sqrt{\dfrac{x+z}{y}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x+y+z}{y}\right)\Rightarrow\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}\ge\dfrac{2y}{x+y+z}\)
Suy ra : \(\Sigma\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
" = " ko xảy ra nên hiển nhiên (*) đúng
Hoàn tất c/m
