Question

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi H' là điiểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh:

a, \(AE\cdot AC=\text{AF}\cdot AB\)

b, Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.

Answer 1

hình tự vẽ nha!

a) cm: ΔABE ∼ΔACF : (g_g) ⇒ AE /AF = AB /AC ⇒ dpcm.

b) hướng giải quyết R= abc / 4S (với a,b,c là 3 cạnh và S là diện tích,R là bk đường tròn ngoại tiếp Δ)

cm: R_ABC=R_BHC

thật vậy, ta có R_ABC=\(\frac{AB.AC.BC}{4.0,5.AI.BC}\) ( với AI là đường cao) =\(\frac{AB.AC}{2AI}\)

R_BHC=\(\frac{BH.HC.BC}{4.0,5,HI.BC}\)=\(\frac{BH.HC}{2HI}\)

giả sử R_ABC=R_BHC⇒\(\frac{AB.AC}{AI}\)=\(\frac{BH.HC}{HI}\)⇒\(\frac{AB.AC}{HC}\)=\(\frac{BH.AI}{HI}\)(1)

dễ cm ΔBIH ∼ΔAIC (gg) ⇒BH.AI = AC.BI (2)

(1)(2) suy ra: \(\frac{BI}{HI}\)=\(\frac{AB}{HC}\) (đúng, vì ΔICH ∼ΔIAB)

Nên điều giả sử là đúng

Vậy R_ABC=R_BHC