a) Trên tia \(BD\) lấy điểm F sao cho \(BC=CF\left(F\in CD\right).\)
Xét \(\Delta ABC\) có \(\widehat{ACD}\) là góc ngoài
=> \(\widehat{ACD}=\widehat{BAC}+\widehat{ABC}=15^0+45^0=60^0\) (1)
Xét \(\Delta CED\) vuông tại E có \(EF\) là đường trung tuyến
=> \(EF=CF=FD\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\Delta ECF\) là tam giác đều.
=> \(EC=CF.\)
Mà \(BC=CF\left(gt\right)\)
=> \(EC=BC.\)
=> \(\Delta BEC\) cân tại \(C.\) (3)
Xét \(\Delta ABC\) có:
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\) (định lí tổng 3 góc trong một tam giác)
=> \(15^0+45^0+\widehat{C}=180^0\)
=> \(60^0+\widehat{C}=180^0\)
=> \(\widehat{C}=180^0-60^0\)
=> \(\widehat{C}=120^0\) (4)
Từ (3) và (4) => \(\widehat{EBC}=\frac{180^0-\widehat{C}}{2}=\frac{180^0-120^0}{2}=30^0.\)
Mà \(\widehat{ABE}+\widehat{EBC}=45^0\left(=\widehat{B}\right)\)
=> \(\widehat{ABE}+30^0=45^0\)
=> \(\widehat{ABE}=45^0-30^0\)
=> \(\widehat{ABE}=15^0.\)
=> \(\widehat{ABE}=\widehat{BAC}=15^0.\)
=> \(\Delta AEB\) cân tại E
=> \(EB=EA\) (5)
Xét \(\Delta CED\) vuông tại E có \(\widehat{C}=60^0\)
=> \(\widehat{EDC}=\widehat{EBD}=\frac{\widehat{C}}{2}=\frac{60^0}{2}=30^0.\)
=> \(\Delta BED\) cân tại E.
=> \(EB=ED\left(đpcm\right)\) (6)
b) Từ (5) và (6) => \(EA=ED\)
=> Mà \(\widehat{AED}=90^0\left(gt\right)\)
=> \(\Delta AED\) vuông cân tại E.
=> \(\widehat{ADE}=45^0.\)
Mà \(\widehat{ADB}=\widehat{ADE}+\widehat{EDB}\)
=> \(\widehat{ADB}=30^0+45^0\)
=> \(\widehat{ADB}=75^0.\)
Chúc bạn học tốt!
Kẻ \(DE\perp AC\left(E\in AC\right)\), điểm F sao cho BC = CF \(\left(F\in CD\right)\)
Xét \(\Delta ABC\)có \(\widehat{ACD}\)là góc ngoài nên \(\widehat{ACD}=15^0+45^0=60^0\)(1)
Xét \(\Delta CED\)vuông tại E có EF là trung tuyến nên \(EF=CF=FD\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta ECF\)đều\(\Rightarrow EC=CF\)
Mà \(BC=CF\)nên \(\Rightarrow EC=BC\Rightarrow\Delta BEC\)cân Áp dụng định lý về tổng ba góc trong tam giác, ta được: \(\widehat{C}=180^0-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)=180^0-60^0=120^0\)(4)
Tử (3) và (4) suy ra \(\widehat{EBC}=\frac{180^0-120^0}{2}=30^0\)
Mà \(\widehat{ABE}+\widehat{EBC}=45^0\left(=\widehat{B}\right)\)\(\Rightarrow\widehat{ABE}=15^0=\widehat{BAC}\)
Suy ra \(\Delta AEB\)cân tại E\(\Rightarrow EB=EA\)(5)
Xét \(\Delta CED\)vuông tại E có \(\widehat{C}=60^0\)nên \(\widehat{EDC}=30^0=\widehat{EBD}\)
Suy ra \(\Delta BED\)cân tại E \(\Rightarrow BE=ED\)(6)
Từ (5) và (6) suy ra \(EA=ED\)mà \(\widehat{AED}=90^0\)nên \(\Delta AED\)vuông cân tại E.
\(\Rightarrow\widehat{ADE}=45^0\)
Mà \(\widehat{ADB}=\widehat{ADE}+\widehat{EDB}\)nên \(\widehat{ADB}=30^0+45^0=75^0\)
Vậy \(\widehat{ADB}=75^0\)
Cách 2:
a) Ta có : \(\widehat{ACD}=\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=45^0+15^0=60^0\),vì thế trong tam giác vuông CED thì \(\widehat{CDE}=30^0\).Gọi I là trung điểm của CD thì IE = IC.Tam giác ICE là tam giác đều nên CI = CE,từ đó CE = CB,do đó tam giác BEC cân tại đỉnh C,khi đó \(\widehat{CBE}=30^0=\widehat{CDE}\). Tam giác BED cân tại đỉnh E.Vậy EB = ED.
b) \(\widehat{ABE}=\widehat{ABC}-\widehat{EBC}=45^0-30^0=15^0\)nên \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\).
Tam giác AEB cân ở E,do đó EA = EB,suy ra EA = ED
Tam giác EAD vuông cân,\(\widehat{EDA}=45^0\)
\(\widehat{BDA}=\widehat{BDE}+\widehat{EDA}=30^0+45^0=75^0\)
.
