Question

Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, các điểm N, P phân biệt thuộc cạnh AB sao cho \(AP = PN = NB\). Gọi Q là giao điểm của AM và CP. Chừng minh:

a)      \(MN//CP\)

b)     \(AQ = QM\)

c)      \(CP = 4PQ\)

Answer 1

a)      Vì \(AP = PN = NB\) nên N là trung điểm BP.

Mà M là trung điểm BC nên MN là đường trung bình của tam giác BPC.

\( \Rightarrow MN//CP\)

b)     Tam giác AMN có \(MN//CP\) nên:

\(\frac{{AP}}{{PN}} = \frac{{AQ}}{{QM}}\) (Định lý Thales)

Mà \(AP = PN = NB\) nên P là trung điểm AN hay \(\frac{{AP}}{{PN}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{AQ}}{{QM}} = 1 \Rightarrow AQ = QM\).

c)      P là trung điểm AN, Q là trung điểm AM nên PQ là đường trung bình của tam giác AMN.

\( \Rightarrow PQ = \frac{1}{2}MN\)

Mà MN là đường trung bình của tam giác BPC nên \(MN = \frac{1}{2}CP \Rightarrow CP = 2MN\)

Vậy \(CP = 4PQ\).