Question

Cho tam giác ABC có AD là phân giác. chứng minh \(cos\frac{A}{2}\ge\frac{2\cdot AD}{AB+AC}\)

Answer 1

Dựng tam giác

bất kì, không mất tính tổng quát, giả sử \(AC\ge AB\Rightarrow\frac{AC}{AB}\ge1\)

Lần lượt kẻ BM và CN vuông góc AD

\(cos\frac{A}{2}=\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{AM+AN}{AB+AC}=\frac{AD-DM+AD+DN}{AB+AC}=\frac{2AD}{AB+AC}+\frac{DN-DM}{AB+AC}\)

Ta chỉ cần chứng minh \(DN-DM\ge0\) là xong

Theo định lý Talet: \(\frac{DN}{DM}=\frac{CD}{BD}\), mà \(\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}\ge1\) (t/c phân giác)

\(\Rightarrow\frac{DN}{DM}\ge1\Rightarrow DN-DM\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(AB=AC\) hay tam giác ABC cân tại A