Question

Cho tam giác ABC có ( AB<AC) . Gọi M là trung điểm của BC . Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại N . Đường thẳng MN cắt tia AB , tia AC lần lượt tai E và F . Chứng minh rằng :

a )\(BE=CF\)

b ) \(AE=\frac{AB+AC}{2}\)

Answer 1

Bạn tham khảo tại đây nhé: Câu hỏi của Ánh Dương Hoàng Vũ.

Chúc bạn học tốt!

Answer 2

Lời giải:
a)

Xét tam giác $AEN$ và $AFN$ có:

$\widehat{ANE}=\widehat{ANF}=90^0$

$AN$ chung

$\widehat{EAN}=\widehat{FEAN}$ (tính chất tia phân giác)

$\Rightarrow \triangle AEN=\triangle AFN$ (g.c.g)

$\Rightarrow AE=AF$ và $\widehat{E_1}=\widehat{F_1}(1)$

Kẻ $BG\parallel AC$ ($G\in EF$)

Khi đó:

$\widehat{G_1}=\widehat{F_1}(2)$ (đồng vị)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{E_1}=\widehat{G_1}$ nên tam giác $BEG$ cân tại $B$. Do đó $BE=BG(*)$

Mặt khác:
Xét tam giác $BGM$ và $CFM$ có:

$BM=CM$

$\widehat{BMG}=\widehat{CMF}$ (đối đỉnh)

$\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$ (so le trong)

$\Rightarrow \triangle BGM=\triangle CFM$

$\Rightarrow BG=CF(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow BE=CF$ (đpcm)

b)

Theo phần a ta có:

$AE=AF$

$\Rightarrow 2AE=AE+AF=AB+BE+AC-CF=AB+AC+(BE-CF)=AB+AC$ (do $BE=CF$)

$\Rightarrow AE=\frac{AB+AC}{2}$ (đpcm)

Answer 3

Hình vẽ:

Answer 4