a) Theo định lý Py-ta-go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225
\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{225}=15\left(cm\right)\)
Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) ta có:
\(\widehat{HBA}\)là góc chung (1)
\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^o\left(gt\right)\left(2\right)\)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow\Delta HBA\sim\Delta ABC\left(G-G\right)\left(3\right)\)
Từ (3) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\Leftrightarrow\dfrac{AH}{12}=\dfrac{9}{15}\)
\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{12.9}{15}=\dfrac{36}{5}=7,2\left(cm\right)\)
Từ (3) \(\Rightarrow\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{AH}{AC}\Leftrightarrow\dfrac{HB}{9}=\dfrac{7,2}{12}\)
\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{9.7,2}{12}=\dfrac{27}{5}=5,4\left(cm\right)\)
b) Xét \(\Delta BMD\) và \(\Delta BAC\) ta có:
\(\widehat{MBA}\) là góc chung (4)
\(\widehat{BMD}=\widehat{BAC}=90^o\) (gt) (5)
Từ (4), (5) \(\Rightarrow\Delta BMD\sim\Delta BAC\left(G-G\right)\)
c) Ta có: AH \(\perp BC\left(gt\right)\)
\(DM\perp BC\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow AH\)// DM
Ta lại có: M là trung điểm của BC (gt)
\(\Rightarrow\) MB = \(\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.15=\dfrac{15}{2}=7,5\left(cm\right)\)
Ta có: HM = MB - HB = 7,5 - 5,4 = 2,1 (cm)
Vì AH // DM, theo định lý Ta-lét ta có:
\(\dfrac{HB}{HM}=\dfrac{AB}{AD}\Leftrightarrow\dfrac{5,4}{2,1}=\dfrac{9}{AD}\)
\(\Leftrightarrow AD=\dfrac{2,1.9}{5,4}=\dfrac{7}{2}=3,5\left(cm\right)\)
d) Ta có: CA là đường cao của \(\Delta BDC\)
Và DM cũng là đường cao của \(\Delta BDC\)
Mà E là giao điểm của 2 đường cao CA và DM
\(\Rightarrow\) BE cũng là đường cao của \(\Delta BDC\)
\(\Rightarrow BE\perp\)DC
