Lời giải:
Trước hết ta chứng minh một kết quả sau:
Tam giác $ABC$ có $AB=c; BC=a; CA=b$ thì:
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
Chứng minh kết quả này bạn tham khảo ở link sau:
Câu hỏi của Nguyễn Thị Mỹ Lệ - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
------------------------------
Áp dụng kết quả trên vào bài toán:
\(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\Rightarrow \cos ^2A=\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2\)
Tương tự với \(\cos ^2B; \cos ^2C\) suy ra:
\(M=\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2+\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}\right)^2+\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2\)
Đặt \((b^2+c^2-a^2; c^2+a^2-b^2; a^2+b^2-c^2)=(x,y,z)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=\frac{y+z}{2}\\ b^2=\frac{x+z}{2}\\ c^2=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó: \(M=\frac{x^2}{(x+z)(x+y)}+\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\)
\(M=\frac{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\)
\(M=\frac{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)}{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)+2xyz}< 1\)
Ta có đpcm.
Kẻ các đường cao AD, BE,CF ứng với mỗi đáy
Gọi H là trực tâm ( giao của AD,BE,CF )
Xét \(\Delta\) AEB và \(\Delta\)AFC có
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{AEB}\) = \(\widehat{\text{AF}C}\) ( =90o)
\(\rightarrow\) \(\Delta\) AEB \(\sim\) \(\Delta\)AFC (g.g)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AE}{AB}\) = \(\dfrac{\text{AF}}{AC}\) ( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ )
Xét \(\Delta\) AEF và \(\Delta\) ABC
\(\widehat{A}\) chung
\(\dfrac{AE}{AB}\) = \(\dfrac{\text{AF}}{AC}\) (cmt)
\(\rightarrow\) \(\Delta\) AEF \(\sim\) \(\Delta\) ABC (c.g.c)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}\) = \(\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2\) = \(\cos^2A\) (Áp dụng HTL \(\Delta\)AEB vuông ở E
CMTT : \(\dfrac{S_{BDF}}{S_{ABC}}\) = \(\cos^2B\)
\(\dfrac{S_{CDE}}{S_{ABC}}\) = \(\cos^2C\)
\(\Rightarrow\) \(\cos^2A\) + \(\cos^2B\) + \(\cos^2C\) = \(\dfrac{S_{AEF}+S_{BDE}+S_{CDE}}{S_{ABC}}\) <1 (đpcm)
