a) Có △ABC cân tại A
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{B}=\widehat{C}\end{matrix}\right.\)
Xét △ADB và △ADC có:
\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\left(\text{vì AD là tia phân giác của }\widehat{BAC}\right)\\ AB=AC\\ \widehat{B}=\widehat{C}\)
\(\Rightarrow\) △ADB = △ADC (g.c.g)
\(\Rightarrow DB=DC\) (2 cạnh tương ứng)
Mà D nằm giữa B và C
\(\Rightarrow\) D là trung điểm của BC (1)
b) Có △ADB = △ADC
\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\) (2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^o\) (2 góc kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90^o\\ \Rightarrow AD\perp BC\left(2\right)\)
(1) (2) \(\Rightarrow\) AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC
Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có:
\(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{A}\)
\(\Rightarrow AD\) là đường trung tuyến và là đường trung trực của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow D\) là trung điểm.
a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(AB=AC\) (tính chất tam giác cân) (1).
Xét 2 \(\Delta\) \(ABD\) và \(ACD\) có:
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (vì \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
Cạnh AD chung
=> \(\Delta ABD=\Delta ACD\left(c-g-c\right)\)
=> \(BD=CD\) (2 cạnh tương ứng) (2).
=> D là trung điểm của \(BC.\)
b) Từ (1) => A thuộc đường trung trực của \(BC\).
Từ (2) => D thuộc đường trung trực của \(BC\).
=> A và D đều thuộc đường trung trực của \(BC\).
=> \(AD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
