: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm M của cạnh AC.
a) Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác ABDM là hình gì? Vì sao?
c) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì ADCE là hình vuông?
d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì ABDM là hình thang cân?
( Viết GT, KL và vẽ hình )
GT: \(\Delta\)ABC cân tại A (AB = AC), đường cao AD, E đối xứng D qua trung điểm M của AC
Kết luận:
a) Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác ABDM là hình gì? Vì sao?
c) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì ADCE là hình vuông?
d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì ABDM là hình thang cân?
a) Tứ giác ADCE có: $AM=CM(gt);DM=EM$
$\Rightarrow ADCE$ là hình thoi
Mà $\widehat{ADC}=90^0(gt)$
$\Rightarrow ADCE$ là hình chữ nhật
b) $\Delta ABC$ có: $AM=MC;BD=DC \Rightarrow DM//AB$ \Rightarrow ABDM$ là hình thang
c) $ADCE$ là hình vuông khi $\widehat{ACD}=\widehat{CAD}=45^0$
mà $\Delta ABC$ cân tại $A$
Lại có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^0$
$\Rightarrow ABC$ phải là tam giác vuông cân
d) $ABDM$ là hình thang cân $\Leftrightarrow \widehat{MAD}=\widehat{DBA}$
Khi đó $\widehat{ABC}=\widehat{BAC}=\widehat{ACB}$
$\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều
*Hình vẽ:
*Giả thiết, kết luận
| GT |
ΔABC cân tại A AD là đường cao M là trung điểm của AC E đối xứng với D qua M |
| KL |
a) Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao? b) Tứ giác ABDM là hình gì? Vì sao? c) ΔABC có thêm điều kiện gì để ADCE là hình vuông? d) ΔABC có thêm điều kiện gì để ABDM là hình thang cân? |
*Bài giải
a) Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao
Xét tứ giác ADCE có
M là trung điểm của đường chéo AC(gt)
M là trung điểm của đường chéo DE(D và E đối xứng với nhau qua M)
Do đó: ADCE là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành ADCE có \(\widehat{ADC}=90^0\)(AD⊥BC)
nên ADCE là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Tứ giác ABDM là hình gì? Vì sao?
Ta có: AD là đường cao ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(gt)
⇒AD cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(định lí tam giác cân)
⇒D là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC(cmt)
M là trung điểm của AC(gt)
Do đó: DM là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒DM//AB và \(DM=\frac{AB}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác ABDM có AB//DM(cmt)
nên ABDM là hình thang(định nghĩa hình thang)
c) ΔABC có thêm điều kiện gì để ADCE là hình vuông
Để hình chữ nhật ADCE là hình vuông thì AD=DC
mà \(DC=\frac{BC}{2}\)(D là trung điểm của BC)
nên \(AD=\frac{BC}{2}\)
Xét ΔABC có
AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(cmt)
\(AD=\frac{BC}{2}\)(cmt)
Do đó: ΔABC vuông tại A(định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
hay \(\widehat{BAC}=90^0\)
Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện \(\widehat{BAC}=90^0\) thì hình chữ nhật ADCE trở thành hình vuông
d) ΔABC có thêm điều kiện gì để ABDM là hình thang cân
Để hình thang ABDM là hình thang cân thì \(\widehat{BAM}=\widehat{B}\)
hay \(\widehat{BAC}=\widehat{ABC}\)
Xét ΔABC có \(\widehat{BAC}=\widehat{ABC}\)(cmt)
nên ΔABC cân tại C(định lí đảo của tam giác cân)
⇒CA=CB
Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện CA=CB thì hình thang ABDM trở thành hình thang cân
