Question

Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhỏ hơn 90 độ.Kẻ BH⊥AC, CK⊥AB(HϵAC,KϵAB). Gọi O là giao điểm của BH và CK.

a)ΔABH=ΔACK

b)ΔOBK=ΔOCH

c) Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy điểm I sao IB=IC. Chứng minh ba điểm A,O,I thẳng hàng

Answer 1

a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔACK vuông tại K có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAH}\) chung

Do đó: ΔABH=ΔACK(cạnh huyền-góc nhọn)

b) Ta có: ΔABH=ΔACK(cmt)

nên AH=AK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AH+HC=AC(H nằm giữa A và C)

AK+KB=AB(K nằm giữa A và B)

mà AC=AB(ΔABC cân tại A)

và AH=AK(cmt)

nên HC=KB

Ta có: ΔABH=ΔACK(cmt)

nên \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{KBO}=\widehat{HCO}\)

Xét ΔKBO vuông tại K và ΔHCO vuông tại H có 

KB=HC(cmt)

\(\widehat{KBO}=\widehat{HCO}\)(cmt)

Do đó: ΔKBO=ΔHCO(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

c) Ta có: IB=IC(gt)

nên I nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Ta có: OB=OC(ΔKOB=ΔHOC)

nên O nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,O,I thẳng hàng(đpcm)