Question

Cho tam giác ABC cân tại A, có đường trung tuyến AD. Từ điểm D vẽ đường thẳng DM vuông góc với AB (M ∈ AB) và vẽ đường thẳng DN vuông góc với AC (N ∈ AC).

a) Chứng minh ΔBDM = ΔCDN.

b) Chứng minh AM = AN.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\frac{AG+BC}{2}\) > CG.

Answer 1

a) Xét 2 tam giác vuông ΔBDM và ΔCDN ta có:

C.h BD = CD (GT)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(GT\right)\)

=> ΔBDM = ΔCDN (c.h - g.n)

b) Có: ΔBDM = ΔCDN (cmt)

=> BM = CN (2 cạnh tương ứng)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AM+BM=AB\\AN+CN=AC\end{matrix}\right.\)

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}BM=CN\left(cmt\right)\\AB=AC\left(GT\right)\end{matrix}\right.\)

=> AM = AN

c)

Vì G là trọng tâm của ΔABC nên G ∈ AD và AG = 2GD

Mà BC = 2CD (GT)

=> AG + BC = 2(GD + CD)

Xét ΔCDG có GD + CD > CG

AG + BC = 2 CG

\(\Rightarrow\frac{AG+BC}{2}>CG\)