Cho tam giác ABC cân tại A , BH vuông góc AC tại H . Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M khác B và C ) . Gọi D , E , F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB , AC , BH
a ) Chứng minh ΔDBM=ΔFMB
b ) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đối .
c ) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH
Chứng minh BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng DK
Các bạn giúp mình với ạ : Bạn @Vũ Minh Tuấn , @Băng Băng 2k6 , @Phạm Lan Hương , @HISINOMA KINIMADO , và cô @Akai Haruma giúp em với ạ !!!
a) Vì:
\(\left\{{}\begin{matrix}BH\perp AC\left(gt\right)\\MF\perp BH\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(AC\) // \(MF\) (từ vuông góc đến song song).
=> \(\widehat{ACB}=\widehat{FMB}\) (vì 2 góc đồng vị).
Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác cân).
Mà \(\widehat{ACB}=\widehat{FMB}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{FMB}.\)
Hay \(\widehat{DBM}=\widehat{FMB}.\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(DBM\) và \(FMB\) có:
\(\widehat{BDM}=\widehat{MFB}=90^0\left(gt\right)\)
Cạnh BM chung
\(\widehat{DBM}=\widehat{FMB}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta DBM=\Delta FMB\) (cạnh huyền - góc nhọn).
b) Theo câu a) ta có \(\Delta DBM=\Delta FMB.\)
=> \(MD=BF\) (2 cạnh tương ứng) (1).
Vì:
\(\left\{{}\begin{matrix}BH\perp AC\left(gt\right)\\ME\perp AC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(BH\) // \(ME\) (từ vuông góc đến song song).
Hay \(FH\) // \(ME.\)
Mà \(MF\) // \(HE\) (vì \(MF\) // \(AC\)).
=> \(ME=FH\) (tính chất đoạn chắn) (2).
Từ (1) và (2) => \(MD+ME=BF+FH\)
=> \(MD+ME=BH.\)
Vì \(BH\perp AC\left(gt\right)\)
=> \(BH\) là đường cao của \(\Delta ABC.\)
=> \(BH\) có giá trị không thay đổi.
Mà \(MD+ME=BH\left(cmt\right)\)
=> Khi M chạy trên cạnh \(BC\) thì tổng \(MD+ME\) không thay đổi (đpcm).
Chúc bạn học tốt!
