Question

Cho tam giác ABC; A(2;0;0) , B(0;3;1), C(-1;4;2). Độ dài trung tuyến AM và đường cao AH của tam giác ABC lần lượt bằng:

Answer 1

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(-\frac{1}{2};\frac{7}{2};\frac{3}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(-\frac{5}{2};\frac{7}{2};\frac{3}{2}\right)\)

\(\Rightarrow AM=\sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{7}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{83}}{2}\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(-1;1;1\right)\Rightarrow\) phương trình tham số BC: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-t\\y=3+t\\z=1+t\end{matrix}\right.\)

Mặt phẳng (P) qua A vuông góc BC nhận \(\left(1;-1;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình (P):

\(1\left(x-2\right)-y-z=0\Leftrightarrow x-y-z-2=0\)

H là giao điểm BC và (P) nên tọa độ H thỏa mãn:

\(-t-\left(3+t\right)-\left(1+t\right)-2=0\)

\(\Leftrightarrow-3t-6=0\Rightarrow t=2\Rightarrow H\left(-2;5;3\right)\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\left(-4;5;3\right)\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{4^2+5^2+3^2}=5\sqrt{2}\)