\(S_{n^3}\) có vẻ là ghi sai đề, \(S_n^3\) mới đúng
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\left(2-\sqrt{3}\right)^n\\b=\left(2+\sqrt{3}\right)^n\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ab=\left[a=\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)\right]^n=1^n=1\)
\(S_n^3=\left(a+b\right)^3\)
\(S_{3n}+3S_n=a^3+b^3+3\left(a+b\right)=a^3+b^3+3.1.\left(a+b\right)\)
\(=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=\left(a+b\right)^3=S_n^3\)
b/ Thay trực tiếp vào casio và bấm, hoặc nếu giải kiểu tổng quát thì:
\(S_1=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4\) ; \(S_2=7-4\sqrt{3}+7+4\sqrt{3}=14\)
\(\Rightarrow S_3+3S_1=S_1^3\Rightarrow S_3=S_1^3-3S_1=4^3-3.4=52\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2-\sqrt{3}=x\\2+\sqrt{3}=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xy=1\)
\(S_1=x+y=4\) ; \(S_3=x^3+y^3\)
\(S_1S_3=\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)=x^4+y^4+x^3y+y^3x\)
\(\Rightarrow S_1S_3=x^4+y^4+xy\left(x^2+y^2\right)=S_4+S_2\)
\(\Rightarrow S_4=S_1S_3-S_2=194\)
