Question

Cho phương trình: \(x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-3=0\)(m là tham số).

a, Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

b, Tìm m để pt đã cho có 2 nghiệm sao cho \(x_1=3x_2\).

Answer 1

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m^2+3=4-2m\ge0\Rightarrow m\le2\)

Kết hợp điều kiện đề bài và định lý Viet ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1=3x_2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x_2=2\left(m-1\right)\\x_1=3x_2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\frac{m-1}{2}\\x_1=\frac{3\left(m-1\right)}{2}\end{matrix}\right.\)

Lại có \(x_1x_2=m^2-3\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{m-1}{2}\right)\left(\frac{3m-3}{2}\right)=m^2-3\)

\(\Leftrightarrow3m^2-6m+3=4m^2-12\)

\(\Leftrightarrow m^2+6m-15=0\) \(\Rightarrow m=-3\pm2\sqrt{6}\)