Question

cho phương trình sau ; \(cos^2x+2\left(1-m\right)cosx+2m-1=0\)

timg m để phương trình có 4 nghiệm thuộc [0;2\(\pi\)]

Answer 1

Đặt \(cosx=t\Rightarrow-1\le t\le1\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)=t^2+2\left(1-m\right)t+2m-1=0\) (1)

Ứng với mỗi giá trị \(t\) sao cho \(-1< t\le1\) luôn có 2 giá trị \(x\in\left[0;2\pi\right]\)

Do đó pt đã cho có 4 nghiệm khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(-1< t\le1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(1-m\right)^2-\left(2m-1\right)>0\\f\left(-1\right)>0\\f\left(1\right)\ge0\\-1< \frac{t_1+t_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4m+2>0\\4m-2>0\\2\ge0\\-1< m-1< 1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}< m< 2-\sqrt{2}\)