Question

Cho phương trình \(3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{x^2-1}\)

Tìm m để phương trình có nghiệm

Answer 1

ĐKXĐ: \(x\ge1\)

- Với \(x=1\Rightarrow m=0\)

- Với \(x\ne1\) chia 2 vế của pt cho \(\sqrt[4]{x^2-1}\) ta được:

\(3\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}+m\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}=2\)

Đặt \(\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}=t\Rightarrow0< t< 1\)

\(\Rightarrow3t+\frac{m}{t}=2\Leftrightarrow3t^2-2t=-m\)

Xét \(f\left(t\right)=3t^2-2t\) trên \(\left(0;1\right)\)

\(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{3}\in\left(0;1\right)\) ; \(f\left(0\right)=0\) ; \(f\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{3}\); \(f\left(1\right)=1\)

\(\Rightarrow-\frac{1}{3}< f\left(t\right)< 1\Rightarrow-\frac{1}{3}< -m< 1\)

\(\Rightarrow-1< m< \frac{1}{3}\)