Nếu \(\sqrt{p+1}\) không phải là số nguyên thì ta cần chứng minh p+1 không phải là một số chính phương
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2 và p không chia hết cho 4 (*)
Giả sử phản chứng p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m² (m∈N)
Vì p chẵn nên p+1 lẻ => m² lẻ => m lẻ.
Đặt m = 2k+1 (k∈N)
Ta có m² = 4k² + 4k + 1 => p+1 = 4k² + 4k + 1 => p = 4k² + 4k = 4k(k+1) chia hết cho 4. Mâu thuẫn với (*)
Vậy giả sử phản chứng là sai, tức là p+1 không phải là số chính phương
Vậy \(\sqrt{p+1}\) không phải là số nguyên
+ p là tích n số nguyên tố đầu tiên ( \(n\in N\)* )
=> p chia hết cho 2 và p ko chia hết cho 4
=> p chia 4 dư 2
=> p + 1 chia 4 dư 3
=> p + 1 ko là số chính phương
( số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1 )
=> \(\sqrt{p+1}\) k là số nguyên
