Question

Cho hình thang ABCD \(\left( {AB\parallel CD} \right)\). Giả sử M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC. Chứng minh:

a)      M, N, P thẳng hàng

b)     \(MN = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)\).

Answer 1

a)      Vì M và P lần lượt là trung điểm của hai cạnh AD, AC nên MP là đường trung bình của tam giác ADC.

\( \Rightarrow MP\parallel AB\parallel CD\,\,\left( 1 \right)\)

Vì P và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.

\( \Rightarrow PN\parallel AB\parallel CD\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(MP \equiv PN\) hay ba điểm M, N, P thẳng hàng.

b)     Vì MP là đường trung bình của tam giác ADC nên \(MP = \frac{1}{2}DC\).

Vì PN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(PN = \frac{1}{2}AB\).

Ta có:

\(MN = MP + PN = \frac{1}{2}DC + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\left( {DC + AB} \right)\)

Vậy \(MN = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)\).