Question

Cho hình thang ABCD (AB//CD),M là trung điểm của CD.Gọi E là giao điểm của AM và BD và gọi F là giao điểm của BM và AC.Chứng minh EF//AB

Answer 1

Xét ΔDEM và ΔBEA có 

\(\widehat{DEM}=\widehat{BEA}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{DME}=\widehat{BAE}\)(hai góc so le trong, DM//AB)

Do đó: ΔDEM\(\sim\)ΔBEA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{DM}{BA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)(1)

Xét ΔMFC và ΔBFA có 

\(\widehat{MFC}=\widehat{BFA}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{MCF}=\widehat{BAF}\)(hai góc so le trong, AB//MC)

Do đó: ΔMFC\(\sim\)ΔBFA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{FM}{FB}=\dfrac{CM}{AB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)(2)

Ta có: M là trung điểm của CD(gt)

nên CM=DM(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{FM}{FB}\)

Xét ΔMAB có 

E\(\in\)AM(gt)

\(F\in BM\)(gt)

\(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{FM}{FB}\)(cmt)

Do đó: EF//AB(Định lí Ta lét đảo)