Câu hỏi của Hải Ngân

Question

Cho hình thang ABCD (AB // CD), E, F lần lượt là trung điểm của BD và AC. Vẽ đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC. Chúng cắt nhau ở I. CMR: IC = ID

*Gợi ý:

Gọi K...

Đức Hiếu · Accepted Answer

Gọi K là trung điểm của AB

M, N là giao của CD với KE và KF.

Từ I dựng $IO\perp CD$.

Đặt tên cho các điểm như trên hình vẽ!

Xét tam giác ABD có KE là đường trung bình của tam giác ta có:

$KE\text{//}AD;KE=\dfrac{1}{2}AD$(theo tính chất của đường trung bình trong tam giác)

Xét tam giác ABC có KF là đường trung bình của tam giác ta có:

$KF\text{//}BC;KF=\dfrac{1}{2}BC$(theo tính chất của đường trung bình trong tam giác)

Xét tứ giác ADMK và tứ giác BCNK có:

$\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}AK\text{//}DM\left(gt\right)\AD\text{//}KM\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\\left\{{}\begin{matrix}KB\text{//}CN\left(gt\right)\BC\text{//}KN\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

Do đó tứ giác ADMK và tứ giác BCNK là hình bình hành(theo dấu hiệu nhận biết của hình bình hành)

$\left\{{}\begin{matrix}AK=DM;AD=KM\BK=CN;BC=KN\end{matrix}\right.$

mà $\left\{{}\begin{matrix}KE=\dfrac{1}{2}AD\KF=\dfrac{1}{2}BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}KE=\dfrac{1}{2}KM\KF=\dfrac{1}{2}KN\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}KE=ME\KF=NF\end{matrix}\right.$(1)

và $DM=CN$

Vì KM//AD;KN//BC nên $\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AGE}=\widehat{KEI}=90^o\left(d.v\right)\\widehat{BHF}=\widehat{KFI}=90^o\left(d.v\right)\end{matrix}\right.$(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

EI và FI là đường trung trực của tam giác KMN.

Do đó I là tâm của đường trong ngoại tiếp tam giác.

$\Rightarrow JM=JN$ (theo tính chất của đường trung trực)

Mà $DM=CN\left(cmt\right)$ nên $DM+JM=CN+JN\Rightarrow DJ=CJ$

Do đó IJ là đường trung trực của DC

$\Rightarrow ID=IC$ (đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!Câu trả lời: Gọi K là trung điểm của AB