Question

cho hình thang ABCD, AB//CD. M là trung điểm của CD, I là giao điểm của AM và BD; K là giao điểm của BM và AC. gọi O là giao điểm AC và BD.MO cắt AB tại N; BO cắt BC tại S. CMR: N là trung điểm của AB. A;D;S thẳng hàng

Answer 1

Gọi J là giao điểm của IK và MN

Xét ΔIAB và ΔIMD có

\(\hat{IAB}=\hat{IMD}\) (hai góc so le trong, AB//MD)

\(\hat{AIB}=\hat{MID}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIAB~ΔIMD

=>\(\frac{IA}{IM}=\frac{AB}{MD}\)

mà MD=MC

nên \(\frac{IA}{IM}=\frac{AB}{MC}\) (1)

Xét ΔKAB và ΔKCM có

\(\hat{KAB}=\hat{KCM}\) (hai góc so le trong, AB//MC)

\(\hat{AKB}=\hat{CKM}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKAB~ΔKCM

=>\(\frac{KB}{KM}=\frac{AB}{MC}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{IA}{IM}=\frac{KB}{KM}\)

Xét ΔMAB có \(\frac{IA}{IM}=\frac{BK}{KM}\)

nên IK//AB

Xét ΔONA và ΔOMC có

\(\hat{ONA}=\hat{OMC}\) (hai góc so le trong, AN//MC)

\(\hat{NOA}=\hat{MOC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔONA~ΔOMC

=>\(\frac{AN}{MC}=\frac{ON}{OM}\) (3)

Xét ΔONB và ΔOMD có

\(\hat{ONB}=\hat{OMD}\) (hai góc so le trong, NB//MD)

\(\hat{NOB}=\hat{MOD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔONB~ΔOMD

=>\(\frac{ON}{OM}=\frac{NB}{MD}\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{AN}{MC}=\frac{NB}{MD}\)

mà MC=MD

nên AN=NB

=>N là trung điểm của AB