Question

Cho hình chữ nhật ABCD có AB =8cm ,BC=16cm.Vẽ đường cao AH của tam giác ABD

a,Chứng minh tam giác AHB đồng dạng BCD

b.Chứng minh \(AD^2\) =DH.DB

c, Tính độ dài đoạn thẳng AH

Answer 1

a) Xét ΔAHB và ΔBCD có

\(\widehat{AHB}=\widehat{BCD}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{BDC}\)(AB//DC, hai góc so le trong)

Do đó: ΔAHB∼ΔBCD(g-g)

b) Xét ΔAHD và ΔBAD có

\(\widehat{AHD}=\widehat{BAD}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ADB}\) chung

Do đó: ΔAHD∼ΔBAD(g-g)

⇒\(\frac{AD}{BD}=\frac{HD}{AD}=\frac{AH}{BA}=k\)(tỉ số đồng dạng)

hay \(AD^2=HB\cdot HD\)(đpcm)

c) Ta có: \(\frac{AD}{BD}=\frac{HD}{AD}=\frac{AH}{BA}\)(cmt)

⇒\(\frac{8}{BD}=\frac{AH}{4}\)(1)

Áp dụng định lí pytago vào ΔABD vuông tại A, ta được:

\(BD^2=AD^2+AB^2\)

⇔\(BD^2=8^2+4^2=80\)

hay \(BD=4\sqrt{5}cm\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{AH}{4}\)

⇔\(AH=\frac{8\cdot4}{4\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}cm\)

Vậy: \(AH=\frac{8\sqrt{5}}{5}cm\)

Answer 2

a, xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta BCD\) ta có :

∠ABH = ∠BCD (=90^o)

∠AHB = ∠BDC ( AB//CD , slt )

⇒ \(\Delta AHB\) ~ \(\Delta BCD\) ( g - g )

b, xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta BAD\) ta có :

∠D chung

∠BAD = ∠AHD ( =90 ^o)

⇒ \(\Delta AHD\) ~ \(\Delta BAD\) ( g - g )

→\(\frac{AD}{BD}=\frac{HD}{AD}\) ⇒ AD . AD = HD . BD ⇒ AD² = HD . BD ( đpcm )

c,\(\Delta ABD\) có BD² = AB^{2 +} AD² = 64 + 256 = 320→ BC = \(\sqrt{320}\)

S_ABC = \(\frac{1}{2}\).AB .AD = \(\frac{1}{2}\).AH.BD

⇒ AH.BD=AB.AD ⇒ AH = \(\frac{AB.AD}{BD}\) = \(\frac{8.16}{\sqrt{320}}\) = 7 cm