Lời giải:
Tính toán đơn giản: \(AC=\sqrt{3}a, DB=a\)
Ý 1:
Do \(SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp AC\). Áp dụng định lý Pitago:
\( \frac{1}{d(A,SC)^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{3a^2}\Rightarrow SA=\frac{\sqrt{6}}{2}a\)
\(\Rightarrow V_{\text{chóp}}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{6}a}{2}.\frac{AC.BD}{2}=\frac{\sqrt{2}a^3}{4}\)
Ý 2:
Kẻ \(AH\perp BC\) với \(H\in BC\). Có \(\left\{\begin{matrix} AH\perp BC\\ SA\perp BC\end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp (SAH)\)
Kẻ \(AT\perp SH\), mà \(AT\perp BC\) do \(AT\in (SAH)\) , do đó \(AT\perp (SBC)\)
\(\Rightarrow AT=d(A,(SBC))=\sqrt{\frac{SA^2.AH^2}{SA^2+AH^2}}\)
Mà \(AH=\sin 60.AB=\frac{\sqrt{3}a}{2}\), suy ra \(d(A,(SBC))=AT=\frac{\sqrt{2}a}{2}\)
Ý 3:
Kẻ \(BK\parallel AC\) cắt $AD$ tại $K$
Ta có: \(d(SB,AC)=d(AC,(SBK))=d(A,(SBK))\)
Kẻ \(AR\perp BK\).
Có \(AR=AB.\sin ABK=AB.\sin BAC=AB\sin 30=\frac{a}{2}\)
Kẻ \(AM\perp SR\) thì $AM$ chính là khoảng cách từ $A$ đến $(SBK)$
\(d(A,(SBK))=AM=\sqrt{\frac{SA^2.AR^2}{SA^2+AR^2}}=\frac{\sqrt{42}a}{14}\)
