Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, H là hình chiếu của A lên SB.

a) Chứng minh BC vuông góc với (SAB) b) Chứng minh SC vuông góc AH. C) Tính góc tạo bởi SI và AC biết AD = 2a, SA = AB = a

Answer 1

Ta có \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\)

Mà \(BC\perp AB\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

b/ Do \(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH\)

Lại có \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp SC\)

c/ Gọi K là trung điểm BC \(\Rightarrow IK//AC\Rightarrow AC//\left(SIK\right)\)

\(\Rightarrow\left(SI;AC\right)=\widehat{SIK}\) nếu \(\widehat{SIK}\le90^{ }\) hoặc \(180^0-\widehat{SIK}\) nếu \(\widehat{SIK}>90^0\)

\(SI=\sqrt{SA^2+IA^2}=\sqrt{SA^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(IK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2+BC^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow SK=\sqrt{SB^2+BK^2}=\sqrt{SB^2+\left(\frac{BC}{2}\right)^2}=a\sqrt{3}\)

\(cos\widehat{SIK}=\frac{SI^2+IK^2-SK^2}{2SI.IK}=-\frac{1}{5}\Rightarrow\widehat{SIK}\approx101^032'\)

\(\Rightarrow\widehat{\left(SI,AC\right)=180^0-\widehat{SIK}}\approx78^028'\)