Question

Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD . Gọi E ,F theo thứ tự là trung điểm của AB ,CD.

a) Các tứ giác AEFD ,AECF là hình gì ? Vì sao?

b) Gọi M,N lần lượt là giao điểm của AF và DE ,BF và CE .Chứng minh tứ giác EMFN là hình chữ nhật

c) Tìm điều kiện của ABCD để EMFN Là HÌnh VUÔNG

Answer 1

Ta có: AB = CD (ABCD là hình bình hành)

Mà: AE = EB, DF = FC

=> AE = EB = DF = FC (1)

a) * Tứ giác AEFD là hình gì ?

Ta có: AB || CD ( ABCD là hình bình hành)

=> AE || DF (2)

Từ (1), (2) => AEFD là hình bình hành

* Tứ giác AECF là hình gì ?

Ta có: AE || FC (AB || CD) (3)

Từ (1), (3) => AECF là hình bình hành

b) Chứng minh EMFN là hình chữ nhật

Ta có: AEDF là hình bình hành (cmt)

=> DM = ME

Và: EBCF là hình bình hành

=> FN = NB

Mà: DE = FB

=> ME = FN (4)

Ta có: AM = MF (AEFD ;à hình bình hành)

Và: EN = NC (EBCF là hình bình hành)

Mà: AF = EC (AECF là hình bình hành)

=> MF = EN (5)

Từ (4), (5) => EMFN là hình bình hành (6)

Ta có: AB = 2AD

Và: E là trung điểm của AB

=> AB = 2AE

=> AD = AE

=> ΔADE cân

Mà: DM = ME

=> AM là đường trung tuyến

=> AM cũng là đường cao

=> M = 90^o (7)

Từ (6), (7) => EMFN là hình chữ nhật ( Hình bình hành có 1 góc vuông)

c) Điều kiện của ABCD để EMFN là hình vuông:

EMFN là hình vuông:

<=> ME = MF (Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau)

<=> AEFD là hình chữ nhật

<=> ABCD là hình chữ nhật

Vậy ABCD là hình chữ nhật thì EMFN là hình vuông