Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Angela jolie

Cho hai số thực dương a,b sao cho a+b=2.

CMR: \(2\left(a^2+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+9\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\ge10\)

Nguyễn Thanh Hằng
6 tháng 10 2019 lúc 13:40

Ta có :

\(P=2\left(a^2+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+9\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)

\(=2a^2+2b^2-\frac{6a}{b}+\frac{6b}{a}+\frac{9}{a^2}+\frac{9}{b^2}\)

\(=\left(\frac{3}{a^2}+3b^2\right)+\left(\frac{3}{b^2}+3a^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+6\left(2ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)-10ab\)

\(=\left(\frac{3}{a^2}+3b^2\right)+\left(\frac{3}{b^2}+3a^2\right)-4-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+6\left(2ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)-10ab\)

Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương ta có :

\(+,\frac{3}{a^2}+3b^2\ge2\sqrt{\frac{3}{a^2}.3b^2}=\frac{6b}{a}\left(1\right)\)

+, \(\frac{3}{b^2}+3a^2\ge2\sqrt{\frac{3}{b^2}.3a^2}=\frac{6a}{b}\left(2\right)\)

\(+,\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{a}{b}}=2\Leftrightarrow6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=12\left(3\right)\)

+, \(ab+ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\sqrt{ab.ab.\frac{1}{a^2}.\frac{1}{b^2}}=1\Leftrightarrow6\left(ab+ab+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)=6\)

+) \(ab\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Leftrightarrow10ab\ge10\)

Cộng vế với vế ta có :

\(P\ge10\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)


Các câu hỏi tương tự
dbrby
Xem chi tiết
asuna
Xem chi tiết
Phuong Tran
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Ngọc Hân
Xem chi tiết
Doãn Hoài Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Ngọc Hân
Xem chi tiết
Nguyễn Mai
Xem chi tiết
Châu Hà
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Nguyệt
Xem chi tiết