Cho đường tròn tâm O đường kính MN = 2R.Vẽ tiếp tuyến MX và NY. Từ 1 điiểm K khác M và khác N trên đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến MX và NY lần lượt tại Q và P. Chứng tỏ:
a)MQ + NP = PQ
b)OQ vuông góc và đi qua trung điểm của MK
c)Điểm O,N,P,K thuộc đường tròn và tích MQ.NP không đổi khi K di chuyển trên đường tròn (O)
a)
Có $P,Q$ lần lượt là giao điểm của các tiếp tuyến $MQ,KQ$ và $KP, NP$
$\to QM=QK;PN=PK$
$\to MQ+NP=QP$
b)
Có $QM=QK$ (cm câu a)
$OK=OM (=R)$
$\to QO$ là đường trung trực của $MK$
$\to OQ\bot MK$ và đi qua trung điểm $MK$
c)
Gọi A là trung điểm OP
● Có $\Delta OKP$ vuông tại $K$ và $\Delta ONP$ vuông tại $N$
Vì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm cạnh huyền
Do đó $K,O,N,P \in (A; \frac{1}{2} OP)$
● Có $P,Q$ lần lượt là giao điểm của các tiếp tuyến $MQ,KQ$ và $KP, NP$
$\to \widehat{QOK}=\widehat{QOM};\widehat{POK}=\widehat{PON}$
$\to \widehat{QOP}=\frac 12 \widehat{MON}= \frac {1}{2}.180^o=90^o$
$\to \Delta QOP$ vuông tại $O$
$\to OK^2=QK.KP$
Hay $OK^2=QM.PN$
Mà $OK=R \to $OK$ không đổi
Do đó $QM.NP$ không đổi
