Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ tia Ox vuông góc với AB tại O, nó cắt (O) tại M. Lấy điểm E thuộc đoạn thẳng OM (E không trùng với O và M). AE cắt (O) tại C, tia BC cắt Ox tại D
1) Chứng minh tứ giác OECB nội tiếp đường tròn
2) Chứng minh OA.OB = OD.OE
3) Kẻ tiếp tuyến với (O) tại C, nó cắt ED tại I. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng ED
Lời giải:
1.
Ta có: $\widehat{EOB}=\widehat{xOB}=90^0$
$\widehat{ECB}=\widehat{ACB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
Tứ giác $OECB$ có tổng 2 góc đối $\widehat{ECB}+\widehat{EOB}=90^0+90^0=180^0$ nên $OECB$ là tứ giác nội tiếp.
2) Vì $OECB$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{OBC}=\widehat{AEO}$ hay $\widehat{DBO}=\widehat{AEO}$
Xét tam giác $DBO$ và $AEO$ có:
$\widehat{DBO}=\widehat{AEO}$ (cmt)
$\widehat{DOB}=\widehat{AOE}=90^0$
$\Rightarrow \triangle DBO\sim \triangle AEO$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{DO}{BO}=\frac{AO}{EO}\Rightarrow OA.OB=OE.OD$
3.
Ta có: $\widehat{ICE}=\widehat{ICA}=\widehat{CBA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó)
$\widehat{CBA}=\widehat{CEI}$ (do $OECB$ là tgnt)
$\Rightarrow \widehat{ICE}=\widehat{CEI}\Rightarrow IE=IC(*)$
Mặt khác:
$\widehat{AOD}=\widehat{ACD}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $AD$ nên $AOCD$ là tứ giác nội tiếp. Suy ra $\widehat{CAB}=\widehat{CDI}$.
$\widehat{ICD}=90^0-\widehat{ICE}=90^0-\widehat{CBA}=\widehat{CAB}=\widehat{CDI}$
$\Rightarrow IC=ID(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow ID=IE$ hay $I$ là trung điểm $DE$
