Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn(O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn(O). Gọi H là giao điểm của OA và BC
a) Chứng mih: OA vuông góc BC tại H
b) Từ B vẽ đường kính BD(O), đường thẳng AD cắt (O) tại E (khác D).Chứng minh: AE.AD=AH.AO
c) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng AD tại K và cắt đường BC tại F. Chứng minh: FD là tiếp tuyến của (O)
Giúp mk câu c nha
Lời giải:
a) Ta có:
$OB=OC(=R)$
$AB=AC$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
$\Rightarrow OA$ là trung trực $BC$
$\Rightarrow OA\perp BC$ tại trung điểm $H$ của $BC$
b)
Xét tam giác $ABE$ và $ADB$ có:
$\widehat{A}$ chung
$\widehat{ABE}=\widehat{ADB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn bởi cung đó)
$\Rightarrow \triangle ABE\sim \triangle ADB$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AE.AD(1)$
Tam giác $ABO$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
$AB^2=AH.AO(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow AH.AO=AE.AD$ (đpcm)
c)
Dễ thấy $\triangle OHF\sim \triangle OKA$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{OH}{OK}=\frac{OF}{OA}$
$\Rightarrow OK.OF=OH.OA$. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì $OH.OA=OB^2=OD^2$
Do đó: $OK.OF=OD^2$
$\Rightarrow OKD\sim \triangle ODF$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{ODF}=\widehat{OKD}=90^0$
$\Rightarrow OD\perp DF$ nên $FD$ là tiếp tuyến của $(O)$
Lời giải:
a) Ta có:
$OB=OC(=R)$
$AB=AC$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
$\Rightarrow OA$ là trung trực $BC$
$\Rightarrow OA\perp BC$ tại trung điểm $H$ của $BC$
b)
Xét tam giác $ABE$ và $ADB$ có:
$\widehat{A}$ chung
$\widehat{ABE}=\widehat{ADB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn bởi cung đó)
$\Rightarrow \triangle ABE\sim \triangle ADB$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AE.AD(1)$
Tam giác $ABO$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
$AB^2=AH.AO(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow AH.AO=AE.AD$ (đpcm)
c)
Dễ thấy $\triangle OHF\sim \triangle OKA$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{OH}{OK}=\frac{OF}{OA}$
$\Rightarrow OK.OF=OH.OA$. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì $OH.OA=OB^2=OD^2$
Do đó: $OK.OF=OD^2$
$\Rightarrow OKD\sim \triangle ODF$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{ODF}=\widehat{OKD}=90^0$
$\Rightarrow OD\perp DF$ nên $FD$ là tiếp tuyến của $(O)$
Hình vẽ:
