Question

cho đường tròn (O,R) và điểm A sao cho OA= 2R. Từ A, vẽ AB tiếp xúc với (O) với B là  tiếp điểm. Kẻ đường kính BC của (O).Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng OB, kẻ MN vuông góc với AC tại N.

a) chứng minh tứ giác ABMN nội tiếp

b) kẻ BH vuông góc với OA tại H. cho R= 3cm. tính số đo góc BOA và độ dài đoạn BH

c) đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt tia AB tại E. chứng minh ba  điểm E,M,N thẳng hàng 

Answer 1

a) Ta có: \(\angle ANM+\angle ABM=90+90=180\Rightarrow\) ABMN nội tiếp

b) Ta có: \(cos\angle BOA=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\angle BOA=60\)

Ta có: \(sin\angle BOH=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\dfrac{BH}{OB}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow BH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}OB=\dfrac{\sqrt{3}}{2}R\)

c) Ta có: \(OB^2=BA.BE\Rightarrow\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{BA}{BO}\Rightarrow\dfrac{2BM}{BE}=\dfrac{BA}{\dfrac{BC}{2}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2BM}{BE}=\dfrac{2BA}{BC}\Rightarrow\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{BA}{BC}\)

Xét \(\Delta MBE\) và \(\Delta ABC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{BA}{BC}\\\angle MBE=\angle ABC=90\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MBE\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle BME=\angle BAC=\angle CMN\) (ABMN nội tiếp)

mà B,M,C thẳng hàng \(\Rightarrow\) E,M,N thẳng hàng