Question

Cho nửa đường tròn (O;R),đường kính AB.H là trung điểm của OA.Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với OA,đường thẳng này cắt nửa đường tròn (O) tại C.Gọi E,F ll là hình chiếu vuông góc của H trên AC và BC. a)C/m CEHF là hcn. b)C/m EF là tiếp tuyến của nửa đtđk HB. c)Đường thẳng EF cắt nửa đường tròn (O) tại M,N.C/m CM=CN.

Answer 1

a: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét tứ giác CEHF có

\(\widehat{CEH}=\widehat{CFH}=\widehat{FCE}=90^0\)

=>CEHF là hình chữ nhật

b: Gọi I là trung điểm của HB

CEHF là hình chữ nhật

=>\(\widehat{MFH}=\widehat{MCH}\)

=>\(\widehat{MFH}=\widehat{ACH}\)

mà \(\widehat{ACH}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{CAH}\right)\)

nên \(\widehat{MFH}=\widehat{ABC}\)

Ta có: ΔFHB vuông tại F

mà FI là đường trung tuyến

nên FI=IH=IB

=>I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔFHB

FI=FH nên \(\widehat{FIH}=\widehat{FHI}\)

\(\widehat{MFI}=\widehat{MFH}+\widehat{HFI}\)

\(=\widehat{B}+\widehat{FHI}\)

\(=90^0\)

=>EF là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính BH

c: CEHF là hình chữ nhật

=>\(\widehat{CEF}=\widehat{CHF}\)

mà \(\widehat{CHF}=\widehat{CBA}\left(=90^0-\widehat{CAB}\right)\)

nên \(\widehat{CEF}=\widehat{CBA}\)

Ta có: OA=OC

=>ΔOAC cân tại O

=>\(\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\)

\(\widehat{OCA}+\widehat{CEF}=\widehat{OAC}+\widehat{CBA}=90^0\)

=>CO vuông góc với EF

=>CO vuông góc với MN

Ta có: ΔOMN cân tại O

mà OC là đường cao

nên CO là đường trung trực của MN

=>C nằm trên trung trực của MN

=>CM=CN