Question

Cho đường tròn (O) và tiếp tuyến Ax (A là tiếp điểm).Trên Ax lấy điểm B và C sao cho AB=BC.Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn.Kẻ CE và CF (O) lần lượt ở M và N.Dựng hình bình hành AECD

1/ CMR: D nằm trên đường thẳng BF và ADCF nội tiếp

2/CMR:CF.CN=CE.CM và MN song song với AC

Answer 1

1, Do AECD là hình bình hành => AC và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

mà B là tđ của AC =>B là trung điểm của DE

=> D nằm trên đt EB hay D nằm trên đt BF

Có \(\widehat{DCA}=\widehat{CAE}\) (hai góc ở vị trí so le trong do AE//DC)

\(\widehat{CAE}=\widehat{AFE}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AE}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DCA}=\widehat{AFE}\)

=> ADCF nội tiếp

2. Xét \(\Delta CNM\) và \(\Delta CEF\) có:

Góc C chung

\(\widehat{CMN}=\widehat{CFE}\) (\(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{EN}\))

nên tam giác CMN đồng dạng với tam giác CFE(g.g)

=> \(\dfrac{CM}{CF}=\dfrac{CN}{CE}\Leftrightarrow CM.CE=CN.CF\)

Có \(\widehat{DAC}=\widehat{DFC}\) ( do ADCF nội tiếp)

\(\widehat{DFC}=\widehat{CMN}\)(\(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{EN}\))

\(\widehat{DAC}=\widehat{ACM}\) (hai góc ở vị trí so le trong do AD//CE hay AD//CM)

=> \(\widehat{CMN}=\widehat{ACM}\) mà hai góc ở vị trí so le trong suy ra MN//AC