Question

Cho đường tròn (O), đường kính AB,điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM

a) chứng minh NE vuông góc với AB

b) gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Answer 1

Tự vẽ hình nha!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a) Nối OM , OC rồi c/m \(\Delta AMB\) vuông tại M \(\Rightarrow MB\perp AN\), \(\Delta ACB\) vuông tại C \(\Rightarrow MB\perp AN\)

\(\Rightarrow\) E là trực tâm của \(\Delta ANB\)

\(\Rightarrow NE\) là đường cao thứ 3\(\Rightarrow NE\perp AB\left(đpcm\right)\)

b) Ta có: N đối xứng A qua N \(\Rightarrow AM=MN\)

F đối xứng E qua M \(\Rightarrow MF=ME\)

mà \(AN\perp EF\) (c/m trên) \(\Rightarrow AENF\)là hình thoi

\(\Rightarrow\widehat{FAN}=\widehat{ANE}\) (t/c đường chéo hình thoi)

Ta lại có: \(\widehat{NAC}+\widehat{CAB}+\widehat{ANE}=90^{^0}\)

\(\Rightarrow\widehat{NAC}+\widehat{CAB}+\widehat{FAN}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{FAB}=90^0\) hay \(FA\perp AC\) tại C \(\Rightarrowđpcm\)

Answer 2

a) Xét đg tròn (O), đg kính AB có:
C∈(O)
M∈(O)
⇒ΔABC vuông; ΔABMvuông
⇒AC⊥BN
BM⊥AN
Mà AC và BN cắt nhau tại E
=> NE⊥AB

b) Gọi giao điểm của NE và AB là I => NI⊥AB
Xét tứ giác AENF có: AN cắt EF tại M
Mà M là trung điểm của AN( A đx với N qua M)
M là trung điểm của EF(E đx với F qua M)
=> AENF là hình bình hành( Tứ giác có 2 đ/c cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hình bình hành) => AF // EN => NAFˆ=ANI (1) ( 2 góc so le trong)

Từ (1) và (2) => NAFˆ+NAIˆ=90o => OAFˆ=90o => OA⊥FAtại A
Xét đg tròn(O; OA) có: OA⊥FAOA⊥FA tại A(c/m trên)
=> FA là tiếp tuyến của đg tròn (O)