Question

Cho đường thẳng Δ : x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0; 0), A(2; 0). Tìm điểm M trên Δ sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.

Answer 1

Trước hết ta thấy O, A nằm trên cùng một mặt phẳng bờ \(\Delta\).

Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với \(\Delta\) tại H.

Đường thẳng d có phương trình: \(x+y-2=0\)

\(\Rightarrow H\) có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\end{matrix}\right.\Rightarrow H=\left(0;2\right)\)

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=2x_H-x_A=-2\\y_{A'}=2y_H-y_A=4\end{matrix}\right.\Rightarrow A'=\left(-2;4\right)\)

\(\Rightarrow OA'=2\sqrt{5}\)

Phương trình đường thẳng OA': \(2x+y=0\)

Khi đó: \(OM+MA=OM+MA'\ge OA'=2\sqrt{5}\)

\(min=2\sqrt{5}\Leftrightarrow M\) là giao điểm của \(\Delta\) và OA'

\(\Leftrightarrow M\) có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\2x+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)

Answer 2

Lời giải:

Vì $M$ thuộc $\Delta$ nên $M$ có tọa độ $(a-2,a)$

Độ dài đường gấp khúc $OMA$ là:

$OM+MA=\sqrt{a^2+(a-2)^2}+\sqrt{(a-4)^2+a^2}$

$=\sqrt{2}.(\sqrt{(a-1)^2+1}+\sqrt{(2-a)^2+2^2})$

$\geq \sqrt{2}.\sqrt{(a-1+2-a)^2+(1+2)^2}$ (theo BĐT Mincopxky)

$=2\sqrt{5}$

Vậy $OMA$ min bằng $2\sqrt{5}$. Giá trị này đạt tại $a=\frac{4}{3}$

Vậy $M(\frac{-2}{3},\frac{4}{3})$