Cho đường (O;R) có đường kính ab. vẽ đường (B;r) (r<3/5R) cắt đường tròn (O;R) tại C, D. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho EB cắt đoạn thẳng AD tại F và cắt (O;R) tại M (M khác B)
a) Chứng minh rằng EA.EC = EB.EM
b) Gọi P là giao điểm của AD và MC. Chứng minh rằng MB là tia phân giác của DMC và FD.AP=AD.FP
c) Gọi Q là trung điểm của AE. Chứng minh rằng QMD=ADM
d) Giả sử BE = r√2. Chứng minh rằng 2 tam giác BCE, MOC đồng dạng và MQ đi qua điểm chính giữa của cung AB.
a: Xét (O) có A,C,B,M cùng thuộc (O)
nên ACBM là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{ACB}+\widehat{AMB}=180^0\)
mà \(\widehat{ACB}+\widehat{ECB}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{ECB}=\widehat{EMA}\)
Xét ΔECB và ΔEMA có
\(\widehat{ECB}=\widehat{EMA}\)
\(\widehat{CEB}\) chung
Do đó: ΔECB đồng dạng với ΔEMA
=>\(\dfrac{EC}{EM}=\dfrac{EB}{EA}\)
=>\(EC\cdot EA=EM\cdot EB\)
b: Ta có: OC=OD
=>O nằm trên đường trung trực của CD(1)
ta có: BC=BD
=>B nằm trên đường trung trực của CD(2)
Từ (1) và (2) suy ra OB là đường trung trực của CD
=>\(sđ\stackrel\frown{BC}=sđ\stackrel\frown{BD}\)
Xét (O) có
\(\widehat{CMB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB
\(\widehat{DMB}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
\(sđ\stackrel\frown{BC}=sđ\stackrel\frown{BD}\)
Do đó: \(\widehat{CMB}=\widehat{DMB}\)
=>MB là phân giác của góc DMC
