Question

Cho đoạn thẳng AB, điểm C và D cách đều hai điểm A, B ( C và D khác phía đối với AB). CD cắt AB tại I. Chứng minh :

a) CD là tia phân giác của góc ACB

b) Chứng minh tam giác ACI = tam giác BCI

c) CD là đường trung trực của AB

d) Kết quả trên còn đúng không nếu C, D cùng phía AB

Answer 1

a) Do hai điểm C,D cách đều hai điểm A,B

nên CA=CB; DA=DB và CD là đường trung trực của AB

Xét ΔCAB có CA=CB(cmt)

nên ΔCAB cân tại C(định nghĩa tam giác cân)

Ta có: CD là đường trung trực của AB(cmt)

⇒CD⊥AB và CD cắt AB tại trung điểm của AB

mà CD\(\cap\)AB={I}

nên I là trung điểm của AB

Ta có: ΔCAB cân tại C(cmt)

mà CI là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy AB(do I là trung điểm của AB)

nên CI cũng là đường phân giác ứng với cạnh AB(định lí tam giác cân)

⇒CI là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)

hay CD là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)(đpcm)

b) Xét ΔACI vuông tại I và ΔBCI vuông tại I có

IA=IB(do I là trung điểm của AB)

CI là cạnh chung

Do đó: ΔACI=ΔBCI(hai cạnh góc vuông)

c) Ta có: C cách đều A và B(gt)

nên C nằm trên đường trung trực của AB(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: D cách đều A và B(gt)

nên D nằm trên đường trung trực của AB(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra CD là đường trung trực của AB(đpcm)