Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Vẽ tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (A,B là các tiếp điểm) . Vẽ cát tuyến MCD ko đi qua tâm O ( C nằm giữa M và D ), OM cắt AB và (O) lần lượt tại H và I. Chứng Minh
a) Tứ giác MAOB nối tiếp
b) MC.MD = \(MA^2\)
c) OH.OM + MC.MD=\(MO^2\)
d) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
a.Vì \(MA,MB\) là tiếp tuyến của \(\left(O\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0\Rightarrow\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180^0\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(MAOB\) nội tiếp.
b. Ta có: \(\widehat{MAC}=\widehat{MDA}\)
\(\Rightarrow\Delta MAC\sim\Delta MDA\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{MC}{MA}=\frac{MA}{MD}\Rightarrow MC.MD=MA^2\)
c. Vì \(MA,MB\) là tiếp tuyến của \(\left(O\right)\)
\(\Rightarrow MA=MB\) mà \(OA=OB\Rightarrow A,B\) đối xứng qua \(OM\)
\(\Rightarrow OM\perp AB\Rightarrow AH\perp OM\)
Mà: \(MA\perp AO\Rightarrow OH.OM=OA^2\)
\(\Rightarrow OH.OM+MC.MD=OA^2+MA^2=MO^2\)
d. Vì \(MA=MB\Rightarrow\Delta MAB\) cân tại \(M\) mà \(MO\perp AB\)
\(\Rightarrow MO\) là phân giác \(\widehat{AMB}\)
\(Vì:I\in MO\Rightarrow IA=IB\Rightarrow\widehat{IAB}=\widehat{IBA}\)
Mà: \(\widehat{MAI}=\widehat{IBA}\Rightarrow\widehat{IAB}=\widehat{MAI}\Rightarrow AI\) là tia phân giác \(\widehat{A}\)
\(\Rightarrow I\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta MAB\left(đpcm\right)\)
c/ OD vuông góc với MC
.