Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Trên tia đối của tia BC và CB lấy theo thứ tự lần lượt là D và E sao cho BD=CE
a) CM: \(\Delta ADE\) cân
b) GỌi M là trung điểm của BC. CMR: AM là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\) và \(AM\perp DE\)
c) Từ B và C kẻ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. CMR: BH=CK
d) CM: HK//BC
e) Cho HB cắt CK ở N. CM: A,M,N thẳng hàng.
a) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABD}+\widehat{ABC}=180^{^O}\\\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180^o\end{matrix}\right.kềbù\)
Mà có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tam giác ABC cân tại A)
Suy ra : \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)
Xét \(\Delta ABD;\Delta ACE\) có :
\(AB=AC\) (tam giác ABC cân tại A)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(cmt\right)\)
\(BD=CE\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(c.g.c\right)\)
=> \(AD=AE\) (2 cạnh tương ứng)
Do đó : \(\Delta ADE\) cân tại A
b) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}BD=CE\\BM=MC\end{matrix}\right.\left(gt\right)\)
Mà có : \(\left\{{}\begin{matrix}DM=BD+BM\\ME=MC+EC\end{matrix}\right.\)
Suy ra : \(DM=EM\)
Xét \(\Delta AMD;\Delta AME\) có:
\(AD=AE\left(gt\right)\)
\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}\) (tam giác ADE cân tại A)
\(DM=ME\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta AMD=\Delta AME\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\) (2 góc tương ứng)
Do đó, AM là tia phân giác của gócDAE
Xét \(\Delta cânADE\) có :
AM là tia phân giác đồng thời là trung tuyến
=> AM đồng thời là đường trung trực
=> \(AM\perp DE\)
d) Ta chứng minh \(\Delta AHK\) cân tại A.
Suy ra : \(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có :
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{AHK}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> HK // BC (đpcm)
