Question

Cho ΔABC nhọn, H là trực tâm. Đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường thẳng vuông góc với AC kẻ từ C tại D.

a) C/m tứ giác BHCD là hình bình hành

b) M là trung điểm BC, O là trung điểm AD. C/m 2OM = AH.

c) G là trọng tâm ΔABC. C/m 3 điểm H, G, O thẳng hàng

Answer 1

a) Có H là trực tâm \(\Delta ABC\Rightarrow\) CH \(\perp AB\) ; \(BH\perp AC\)

Có CH \(\perp AB\) ; BD \(\perp AB\)

=> CH // BD (1)

Có : \(BH\perp AC\) ; \(CD\perp AC\)

=> BH // CD (2)

từ (1) và (2) => tứ giác BHCD là hình bình hành

b)Vì tứu giác BHCD là hình bình hành mà M là trung điểm của BC => M là trung điểm của HD

Xét \(\Delta ADH\) có :

M là trung điểm của HD ; O là trung điểm của Ad

=> MO là đường trung bình \(\Delta ADH\)

\(\Rightarrow MO//AH;MO=\frac{1}{2}AH\Leftrightarrow2MO=AH\)

c) Ta Có : OM // AH ​mà AH\(\perp\) BC

=> OM\(\perp\) BC .

Gọi I là giao điểm của AM và OH

Có AH // OM( vì cùng vuông góc BC) \(\Rightarrow\) \(\Delta IAH\sim\Delta IMO\)

\(\Rightarrow I\in\) đường trung tuyến AM và cách A một khoảng như trong tâm G suy ra I \(\equiv\) G.

\(\Rightarrow\)H,G,O thẳng hàng

Answer 2