Question

cho da thuc B=(x+y)(x+z)(z+x)+xy

a.phân tich da thuc thanh nhan tu

b. Nếu x,x,z là số nguyên và x+y+z chia hết cho 6 thì B-3xy cũng chia hết cho 6

Answer 1

Lời giải:

a)

\(B=(x+y)(y+z)(x+z)+xyz\)

\(=(xy+xz+y^2+yz)(x+z)+xyz\)

\(=(x^2y+xyz+x^2z+xz^2+y^2x+y^2z+xyz+yz^2)+xyz\)

\(=xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+3xyz\)

\(=xy(x+y+z)+yz(y+z+x)+xz(x+z+y)\)

\(=(x+y+z)(xy+yz+xz)\)

b)

$x+y+z\vdots 6$ nên \(B=(x+y+z)(xy+yz+xz)\vdots 6(1)\)

Mặt khác, giả sử $x,y,z$ đều lẻ thì $x+y+z$ lẻ, do đó $x+y+z$ không chia hết cho $6$ (trái với đề bài). Do đó tồn tại ít nhất một số chẵn

\(\Rightarrow xyz\vdots 2\Rightarrow 3xyz\vdots 6(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow B-3xyz\vdots 6\) (đpcm)