Question

Cho các số thực dương x,y,z \(\in [0;1] \)Tìm Max

\(T=x+y^{2017}+z^{2018}-xy-yz-zx\)

Answer 1

Lời giải:

Vì \(x,y,z\leq 1\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow (xy-x-y+1)(z-1)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-xz+xyz-1\leq 0\)

\(\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-xz\leq 1-xyz\leq 1(*)\) (do \(xyz\geq 0\) )

Mặt khác:

\(y,z\in [0;1]\Rightarrow y^{2017}\leq y; z^{2018}\leq z\)

Do đó:

\(T=x+y^{2017}+z^{2018}-xy-yz-xz\leq x+y+z-xy-yz-xz(**)\)

Từ \((*);(**)\Rightarrow T\leq 1\) hay \(T_{\max}=1\)

Dấu bằng xảy ra khi \((x,y,z)=(1,1,0);(0,0,1)\) hoặc hoán vị các bộ số ấy