Question

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn (a²+b²)(b²+c²)(c²+a²)=8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=abc(a+b+c)³

Answer 1

Lời giải:

Ta nhớ đến BĐT quen thuộc sau: Với $x,y,z>0$ thì:

\((x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)\)

Thay $(x,y,z)=(a^2,b^2,c^2)$ ta có:

$8\geq \frac{8}{9}(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leq 9$

----------------------

Theo hệ quả của BĐT AM-GM thì:
\(abc(a+b+c)\leq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

\((a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\)

\(\Rightarrow P\leq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(a^2+b^2+c^2)\leq3.9=27\)

Vậy $P_{\max}=27$ khi $a=b=c=1$