Bài 1: Đại lượng tỷ lệ thuận

1. Định nghĩa

Ở lớp dưới ta đã biết: 

• Nếu một hình vuông có cạnh là \(a\) thì chu vi hình vuông là \(C=4a\). 
• Khi ô tô đi với vận tốc \(v=30\) km/h không đổi thì quãng đường \(s\) mà ô tô đi được trong thời gian \(t\) giờ là \(s=30t\left(km\right)\).
• Một thanh kim loại có thể tích \(V\left(m^3\right)\) làm bằng vật liệu có khối lượng riêng \(D=1400\) kg/m³ thì có khối lượng là \(m=D.V=1400V\left(kg\right)\).

Trong các ví dụ trên, ta thấy: 

• Nếu cạnh hình vuông tăng (giảm) bao nhiêu lần thì chu vi hình vuông cùng tăng (giảm) bấy nhiêu lần.
• Tương tự như vậy với quãng đường và thời gian chuyển động của ô tô; khối lượng và thể tích của thanh kim loại.

Bên cạnh đó, công thức phía trên đều cùng một đặc điểm: Đại lượng này bằng đại lượng kia nhân với một hằng số khác \(0\). Ta nói chúng là các đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

Định nghĩa: Nếu đại lượng \(y\) liên hệ với đại lượng \(x\) theo công thức \(y=kx\) (với \(y\) là hằng số khác \(0\)) thì ta nói \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(k\).

Chẳng hạn, trong các ví dụ trên ta có:

• Chu vi tỉ lệ thuận với cạnh hình vuông theo hệ số tỉ lệ \(4\).
• Quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian chuyển động theo hệ số tỉ lệ \(30\).
• Khối lượng thanh kim loại tỉ lệ thuận với thể tích của nó theo hệ số tỉ lệ \(1400\).

Ví dụ 1: Cho \(x\) tỉ lệ thuận với \(y\). Biết khi \(x=2\) thì \(y=-6\). Tìm hệ số tỉ lệ giữa \(x\) và \(y\)?

Lời giải:

Gọi \(x\) tỉ lệ thuận với \(y\) theo hệ số tỉ lệ \(k\). Ta có \(x=ky\)

\(\Rightarrow2=k.\left(-6\right)\Rightarrow k=\dfrac{2}{-6}=\dfrac{-1}{3}\).

Vậy \(x\) tỉ lệ thuận với \(y\) theo hệ số tỉ lệ \(k=\dfrac{-1}{3}.\)

Ví dụ 2: Cho \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số \(k\left(k\ne0\right)\). Hỏi \(x\) có tỉ lệ thuận với \(y\) không? Nếu có thì theo hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số \(k\left(k\ne0\right)\) \(\Rightarrow y=kx\Rightarrow x=\dfrac{1}{k}y\).

Như vậy, \(x\) cũng tỉ lệ thuận với \(y\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{k}\).

Chú ý: Nếu đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(x\) thì \(x\) cũng tỉ lệ thuận với \(y\) và ta nói hai đại lượng này tỉ lệ thuận với nhau. Nếu \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(k\) (khác \(0\)) thì \(x\) tỉ lệ thuận với \(y\) theo tỉ lệ \(\dfrac{1}{k}.\) 

Ví dụ 3: Cho \(a\) tỉ lệ thuận với \(b\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{4}\). Viết biểu thức liên hệ của \(b\) theo \(a\)?

Lời giải:

Ta có \(a\) tỉ lệ thuận với \(b\) theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow b\) tỉ lệ thuận với \(a\) theo hệ số tỉ lệ \(4\Rightarrow b=4a.\)

2. Tính chất

Xét hai đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số \(k\Rightarrow y=kx\).

Khi đó, với mỗi giá trị \(x_1,x_2,x_3...\) khác \(0\) của \(x\) ta có một giá trị tương ứng \(y_1=kx_1;y_2=kx_2;y_3=kx_3...\) của \(y\).

Do đó, ta dễ thấy \(\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}=\dfrac{y_3}{x_3}=...=k\) 

\(\Rightarrow\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2};\dfrac{x_1}{x_3}=\dfrac{y_1}{y_3};...\)

Từ đó, ta có tính chất sau:

Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì 

• Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi.
• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Ví dụ: Cho \(x,y\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Biết \(x_1=2,y_1=3,y_2=-5\). Tìm \(x_2\)?

Lời giải:

Do \(x,y\) tỉ lệ thuận với nhau \(\Rightarrow\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}\)

\(\Rightarrow x_2=\dfrac{x_1.y_2}{y_1}=\dfrac{2.\left(-5\right)}{3}=\dfrac{-10}{3}.\)