Bài 4: Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

1. Bài toán 1

Một ô tô đi từ A đến B hết 6 giờ. Hỏi ô tô đó đi từ A đến B hết bao nhiêu giờ biết vận tốc mới bằng 1,2 lần vận tốc cũ?

Lời giải

Gọi vận tốc mới và vận tốc cũ của ô tô lần lượt là \(v_1\) (km/h) và \(v_2\) (km/h); thời gian tương ứng để ô tô đi từ A về B là \(t_1\) (giờ) và \(t_2\) (giờ).

Theo đề bài ta có: \(\dfrac{v_1}{v_2}=1,2\) và \(t_2=6\).

Do vận tốc và thời gian của ô tô khi chuyển động trên cùng một quãng đường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

\(\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{t_2}{t_1}\Rightarrow1,2=\dfrac{6}{t_1}\Rightarrow t_1=\dfrac{6}{1,2}=5\).

Vậy khi đi với vận tốc mới thì ô tô đi từ A đến B hết 5 giờ.

2. Bài toán 2

Bốn đội máy cày có 36 máy (cùng năng suất) làm việc trên 4 cánh đồng có diện tích bằng nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội hai trong 6 ngày, đội ba trong 10 ngày và đội bốn trong 12 ngày. Tính số máy cày của mỗi đội?

Lời giải

Gọi số máy cày của đội một, đội hai, đội ba và đội bốn lần lượt là \(x_1,x_2,x_3,x_4\) (máy).

Theo đề bài, ta có: \(x_1+x_2+x_3+x_4=36\).

Do diện tích bốn cánh đồng là như nhau nên số máy cày và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

\(\Rightarrow4x_1=6x_2=10x_3=12x_4\)

\(\Rightarrow\dfrac{x_1}{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{x_2}{\dfrac{1}{6}}=\dfrac{x_3}{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{x_4}{\dfrac{1}{12}}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{12}}=\dfrac{36}{\dfrac{36}{60}}=60\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=60.\dfrac{1}{4}=15\\x_2=60.\dfrac{1}{6}=10\\x_3=60.\dfrac{1}{10}=6\\x_4=60.\dfrac{1}{12}=5\end{matrix}\right.\) (máy)

Vậy số máy cày của đội một là 15 máy, của đội hai là 10 máy, của đội ba là 6 máy và của đội bốn là 5 máy.

3. Áp dụng

Trong thực hành, ta cần phát hiện ra các đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và có thể sử dụng các kiến thức đã học để giải quyết bài toán, chẳng hạn tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Ví dụ 1: Có 3 công nhân làm cỏ một cánh đồng hết 6 giờ. Hỏi nếu có 12 công nhân (cùng năng suất) thì làm cỏ xong cánh đồng trong bao lâu?

Lời giải

Gọi thời gian để 12 công nhân làm cỏ xong cánh đồng là \(t\) (giờ).

Do lượng công việc cần hoàn thành là như nhau nên thời gian làm việc tỉ lệ nghịch với số người làm. 

Ta có: \(3.6=12.t\Rightarrow t=\dfrac{3.6}{12}=1,5\) (giờ).

Vậy 12 người sẽ làm cỏ xong cánh đồng trong 1,5 giờ hay 1 giờ 30 phút.

Ví dụ 2: Người ta chia số \(520\) thành ba phần \(a,b,c\) tỉ lệ nghịch với 2,3,4. Tìm mỗi số \(a,b,c\) khi đó?

Lời giải

Theo đề bài, ta có \(a+b+c=520\).

Do các số \(a,b,c\) tỉ lệ nghịch với \(2,3,4\) nên ta có:

\(2a=3b=4c\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{c}{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{a+b+c}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{520}{\dfrac{13}{12}}=480\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=480.\dfrac{1}{2}=240\\b=480.\dfrac{1}{3}=160\\c=480.\dfrac{1}{4}=120\end{matrix}\right.\)

Vậy \(a=240;b=160;c=120\).