Question

Cho các số thực dương a,b,c thay đổi thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\)

CMR: \(\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-xz}+\frac{z}{3-xy}\le \frac{3}{2}\)

Answer 1

Sửa: \(x^2+y^2+z^2=3\)

Ta có: \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{3-yz}\le\dfrac{2x}{6-\left(y^2+z^2\right)}=\dfrac{2x}{x^2+3}\)

\(\Rightarrow f''\left(x\right)=\dfrac{4x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{\left(x^2+3\right)^3}< 0\forall x\le3\) là hàm lõm

Áp dụng BĐT Jensen ta có:

\(f\left(a\right)+f\left(b\right)+f\left(c\right)\le3f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)\le3f\left(1\right)=\dfrac{3}{2}\)