\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)
\(\Rightarrow a^{101}-a^{100}+b^{101}-b^{100}=0\)
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\left(1\right)\)
*)Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều dương nên:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)>0\) không đúng với \(\left(1\right)\)
*)Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều âm nên:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)< 0\) không đúng với \(\left(1\right)\)
*)Nếu a và b có 1 số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge1;b\le1\)
Ta có:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)=b^{100}\left(b-1\right)\left(2\right)\)
Lại có:
\(a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
\(\Rightarrow a^{102}-a^{101}+b^{102}-b^{101}=0\)
\(\Rightarrow a^{101}\left(a-1\right)+b^{101}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)+b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot a^{100}\left(a-1\right)=0\) (theo (2))
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)\left(a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\a-b=0\end{matrix}\right.\) (do \(a>0\))
\(\Rightarrow a=b=1\Rightarrow P=1^{2014}+1^{2014}=2\)
