Question

Cho các số nguyên dương a,b. Biết hàm số y = \(\frac{1}{3}\left(\text{a}-4\right)x^3\) +2\(bx^2\) + x+5 đồng biến trên khoảng (−∞;+∞). Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a+3b là ?

Answer 1

\(y'=\left(a-4\right)x^2+4bx+1\)

Do hàm số đồng biến trên R \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-4>0\\\Delta'=4b^2-a+4\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a\ge4b^2+4\)

\(\Rightarrow S=2a+3b\ge2\left(4b^2+4\right)+3b\)

\(\Rightarrow S=f\left(b\right)\ge8b^2+3b+8\)

\(f\left(b\right)\) đồng biến khi \(b\) dương \(\Rightarrow f\left(b\right)_{min}\) khi \(b=1\Rightarrow S_{min}=19\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=8\\b=1\end{matrix}\right.\)