Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
TXT Channel Funfun

Cho các số hữu tỉ x, y, z thỏa mãn x + y2 + z2, y + z2 + x2, z + x2 + y2 đều là số nguyên. Chứng minh rằng 2x, 2y, 2z đều là số nguyên.

đề bài khó wá
8 tháng 4 2020 lúc 13:35

Đặt \(x=\frac{a}{d},y=\frac{b}{d},z=\frac{c}{d}\) với \(a,b,c,d\in Z,D>0\)\(\left(a,b,c,d\right)=1\)

Ta có : \(x+y^2+z^2=\frac{da+b^2+c^2}{d^2}\) theo giả thiết,suy ra \(ad+b^2+c^2\) chia hết cho \(d^2\).Chứng minh tương tự : \(db+a^2+c^2\)\(dc+a^2+b^2\)chia hết cho \(d^2\) hay \(a^2+c^2,c^2+b^2,a^2+b^2⋮d\) . Do đó :

\(2a^2=\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)-\left(b^2+c^2\right)⋮d\)

Tương tự,ta cũng có : 2b^2;2c^2 chia hết cho d.

* TH1 : Nếu \(d\) có ước nguyên tố lẻ là p thì do \(2a^2,2b^2,2c^2⋮d\)nên a\(a,b,c⋮p\Rightarrow\left(a,b,c,d\right)>p>1\left(\text{vô lý}\right)\)=> d phải là lũy thừa của 2 (1)

* TH2 : Nếu d chia hết cho 4 thì do \(2a^2,2b^2,2c^2⋮4\Rightarrow a,b,c\) chẵn, do đó \(\left(a,b,c,d\right)\ge2>1\left(\text{vô lý}\right)\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra d = 1 hoặc d = 2

* Nếu d = 1 => x = a \(\in Z\Rightarrow2x\in Z\)

* Nếu d = 2 thì x= =a/2 nên 2x = a \(\in Z\)

Hoán vị vòng quanh x,y,z ta đều được \(2x,2y,2z\in Z\) (đpcm)


Các câu hỏi tương tự
thanh
Xem chi tiết
Edogawa Conan
Xem chi tiết
Edogawa Conan
Xem chi tiết
lilla
Xem chi tiết
Trân Nari
Xem chi tiết
Hoang Yen Pham
Xem chi tiết
Dấu tên
Xem chi tiết
Như Quỳnh Võ
Xem chi tiết
TXT Channel Funfun
Xem chi tiết